Distance of Word

 

Distance of Word

 Complex Manifold Deformation Theory

​

 

​

 

Conjecture A 

1  Distance of Word 

​

 

TANAKA Akio 

     

​

 

Conjecture 

Word has distance.​

​

[Explanation]​

1​

Topological space     E, B, F​

Continuous map     

 : E

F​

Homeomorphic with F     

-1 (b) , b

B     ​

Neighborhood of b     U

 B   ​

Homeomorphic with U 

 F     

-1 (U)​

Homeomorphic map     h : 

-1 (U) 

U 

 F​

Objection to primary component     p1 :  U 

 F   

 U   

, h and p1 are fiber bundle in total 

space S, base space B, fiber F and projection 

.​

​

2​

Topological space     E​

Family that consists of E's open sets     {U 

}a

A​

What E is covered by {Ua}a

A is that the next is satisfied.​

E = 

a

AUa​

Open sets family { Ua}a

A is called open covering.​

What covering is simply connected in space is called universal covering.​

​

3 ​

Complex manifold     M​

Point of M     Q​

Normal tangent vector space     TQ(M)​

m+n dimensional complex manifold     V​

m dimensional complex manifold      W​

Holomorphic map     

 : V

W​

Map 

 that satisfies the next is called analytic family of compact complex manifolds.​

(i) 

 is proper map.​

(ii) 

 is smooth holomorphic map.​

(iii) For arbitrary point of w

W, fiber 

-1 (w) is always connected.​

When w0

W is fixed, Vw, w

W is called deformation of Vw0.​

​

4​

Complex manifold     S​

Weight     w​

Deformation of polar Z-Hodge structure     H = (HZ, F, 

)​

Point     s0 

S​

HZ = HZ (s0)​

Fp = Fp(s0) 

 = 

 (s0) ​

Polar Z-Hodge structure     (HZ, {Fp}, 

 )​

Period domain that is canonical by (HZ, { Fp}, 

 )     D​

compact relative of D     

​

Bilinear form over HZ, that is determined by

    Q​

Monodromy expression of S's fundamental group 

 (S, s0)       

 : 

1 (S, s0) 

GZ = Aut(HZ, 

Q)

 = Im 

 =  

 ( 

1 (S, s0) )

 : S 

 \ D

  is called period map.​

​

5​

Compact manifold     M​

Horizontal tangent bundle     Th

​

Regular map     

 : M 

 

​

Horizontal     d

 is map that is from TM to Th(

)​

Locally liftable     

 | V : V 

 D 

 \ D​

​

6​

Subring of R      A​

H = (HA, F) that satisfies the next is called weight w's A-Hodge structure.​

(i) HA is finite generative A module.​

(ii) For arbitrary p, q, there exists decomposition HC= 

p+q=wHp,q that satisfies Hp,q = Hp,q .   

Hp,q is complex conjugate for Hp,q .​

​

7​

A-Hodge's deformation over S      H = (HA, F),  H' = (H'A, F)    ​

Morphism of A module's local constant sheaf      fA: HA 

 H'A​

fo= fA

AO :HO

H'O that is compatible with filter F is called sheaf from H to H'.​

​

8​

Deformation's morphism of Hodge structure     

 : HA 

 HA

A (-w)​

s

S​

Fiber 

A(s)= 

A,s​

Weight     w

 that gives polar of w's A-Hodge structure at s is called polar of deformation of 

w's A-Hodge structure's deformation.​

Hodge structure that is associated with polar is called polarized VHS.​

​

9​

Open disk D = { z 

C | |z|<1 }, D* = D\{0}​

Universal covering of D*     Upper half-plane of Poincaré      H​

Covering map     H  

z 

 exp(2

z) 

 D*​

Polarized VHS on D     (H,S) 

Fundamental group     

1(D*) 

  Z​

Generation element of the fundamental group     HC​

Action as monodromy to HC     T​

Period map adjoint with H     p : H 

 D​

p ( z + 1 ) = Tp(z)​

​

10​

O module of deformation of Hodge structure H     HO​

D* = D\{0}​

Period map     p : D* 

 \ D​

Limit of p   limz

0p(z)​

Universal covering     H

D​

​

11​

Period map     

​

Nilpotent orbit   

 (w) : = exp(wN) 

(0)​

(Nilpotent orbit theorem)​

(i) Nipotent orbit is horizontable map.​

(ii) If Im w > 0 is enough large, 

(w) 

D.​

(iii) If Im w > 0 is enough large, there exists non-negative constant B that satisfies dD(

(w), 

(w) )

(Imw)Be-2

Imw . ​

     dD is invariant distance over D.​

​

[Comment]​

When word is expressed by open disk D, word has invariant distance in adequate 

condition(Im w > 0).​

At that time, B is proper number of its word.​

​

[Reference]​

Distance Theory / Tokyo May 5, 2005 / Sekinan Linguistic Field​

​

Tokyo November 30, 2008​

Sekinan Research Field of language​

​

[Reference 2 / December 9, 2008]​

Mirror Theory Group / Tokyo December 9, 2008 / Sekinan Linguistic Field​

​

 

Back to sekinanlogoshome